Richtig regeln, ja aber wie...?

Es sei noch erwähnt, daß die "reine Lehre" nur gilt, wenn es keine Begrenzung der Heiz-/Kühlleistung gibt. Diese Bedingung ist bei Heiz/Kühlsystemen so gut wie nie erfüllt. Du bestätigst das selbst, indem Du von einer "schnurgeraden Änderung der Temperaturen" sprichst. Das ist doch so zu verstehen, daß die Heiz/Kühlleistung (zumindes bei großen Anbweichungen) am Anschlag ist, d.h mit konstanter Leistung arbeitet. Die konstante Leistung bewirkt eine lineare Temperaturänderung.
Wenn das so ist, dann ist die Verwendung eines Integrators, wenn überhaupt, nur mit Tricks möglich. Die Interator läuft nämlich in der Zeit der Übersteuerung nach sonstwohin weg. Um ihn trotzdem verwenden zu können, muß er z.B. angehalten werden, um im passenden Moment, wenn das Gleichgewicht fast erreicht ist, mit den richtigen Anfangsbedingungen wieder zugeschaltet werden. Aber das zu optimieren ist schon wieder eine Wissenschaft für sich.
Das beste ist, wenn man am Regler Totzeiten vermeidet und die Proportionalverstärkung so hoch treiben kann, daß man mit der verbleibenden statischen Regelabweichung (d.h. ohne Integrator) leben kann.